Σχέδιο διδ/λίας στη Γεωμετρία: "Oμοιότητα – Θ. Θαλή", της Γ' Γυμνασίου & της
Α' Λυκείου
Εκπαιδευτικοί στόχοι
- Να συνδέουν την ισότητα γωνιών δύο ορθογωνίων τριγώνων με την ισότητα των λόγων των πλευρών τους.
- Να κατανοούν την ομοιότητα ως μεγέθυνση ή σμίκρυνση και το λόγο ομοιότητας ως κλίμακα (συντελεστής ομοιότητας).
- Να υπολογίζουν μια άγνωστη πλευρά ενός τριγώνου όταν είναι γνωστές οι πλευρές ενός ομοίου του.
- Να διατυπώσουν προτάσεις που αφορούν την ομοιότητα και να συντάξουν γενικό συμπέρασμα.
- Να αποδεχτούν τη σημασία της ομοιότητας σε πρακτικά θέματα της καθημερινής ζωής.
Προαπαιτούμενες γνώσεις (σύνδεση με προηγούμενη ενότητα)
- Λόγος: Ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ συμβολίζεται ΓΔ / ΑΒ και είναι ο αριθμός λ, για τον όποιο ισχύει: ΓΔ = λ•ΑΒ
- Αναλoγία (ισότητα δύο λόγων): Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ όταν ισχύει:
- α / β = γ / δ
- Ίσα τρίγωνα: Αν δυο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μια προς μια τότε είναι ίσα
- Κριτήρια ισότητας:
- Πλευρά – Γωνία – Πλευρά (Π – Γ – Π)
- Γωνία – Πλευρά – Γωνία (Γ – Π – Γ)
- Πλευρά – Πλευρά – Πλευρά (Π – Π – Π)
Εισαγωγή: η ιστορία της ομοιότητας
Ο Θαλής, ο Μιλήσιος, η συνοπτική ιστορία του και οι πρακτικές εφαρμογές του θεωρήματός του, των αναλογιών.
Φύλλο εργασίας
(Το φύλλο εργασίας βρίσκεται ενσωματωμένο στο τέλος του εν λόγω σχεδίου διδασκαλίας).
Αξιολόγηση
Εφαρμογή: Ένα ποτήρι ύψους 18 cm περιέχει ρόφημα μέχρι ύψους 12 cm. To καλαμάκι που βρίσκεται μέσα στο ποτήρι έχει μήκος 24 cm. Πόσα εκατοστά από το καλαμάκι είναι βυθισμένο στο ρόφημα;
Όμοια πολύγωνα – όμοια σχήματα (σύνδεση με επόμενη ενότητα)
Το θεώρημα του Θαλή επεκτείνεται σε όμοια πολύγωνα και όμοια σχήματα. Αυτό θα είναι το θέμα της επόμενης ενότητας. Επίσης ο λόγος των εμβαδών ομοίων σχημάτων.
Ανάλυση
Η προσέγγιση της ομοιότητας μπορεί να πραγματοποιείται μέσα από δύο οδούς, τη διαισθητική και την πρακτική. Η ομοιότητα ως μεγέθυνση ή σμίκρυνση αποτελεί τη διαισθητική προσέγγιση, αυτήν δηλαδή, η οποία στηρίζεται στην κοινή εμπειρία, ότι υπάρχουν αντικείμενα που αποτελούν μικρογραφίες ή μεγεθύνσεις άλλων. Παραδείγματα τέτοιων αντικειμένων συναντούμε στις φωτογραφίες, στις μακέτες, στις γιγαντοαφίσες, στις μινιατούρες κτλ.
Η πρακτική προσέγγιση της ομοιότητας βασίζεται στο ότι η έννοια αυτή χρησιμοποιήθηκε και χρησιμοποιείται για την έμμεση μέτρηση αντικειμένων, προς τα οποία δεν έχουμε πρόσβαση. Κλασικό παράδειγμα έμμεσης μέτρησης αποτελεί η εκτίμηση του ύψους ενός κτηρίου μέσω της σκιάς του. Στην περίπτωση αυτή, γίνεται χρήση ορθογωνίων τριγώνων, ενώ, συγχρόνως, είναι απαραίτητες οι μετρήσεις στο φυσικό χώρο και η χρήση αναλογιών.
Βασική ιδέα
«Η μέτρηση του ύψους ενός απρόσιτου αντικείμενου από τη σκιά του θα δώσει την αφορμή να κατασκευαστούν όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Η παραλληλία, μέσω της παράλληλης μετατόπισης, θα δείξει εποπτικά τις ίσες γωνίες και ότι οι πλευρές είναι ανάλογες».
Εισαγωγή
Στην εισαγωγή ως αφόρμηση παρουσιάζουμε ένα μικρό video με τη συνοπτική ιστορία του Θαλή. Χρησιμοποιούμε βιωματική μέθοδο.
(Χρόνος: 2 min)
Πρώτη ενότητα: "Εκτίμηση του ύψους απρόσιτου σχήματος μέσω της σκιά του"
Στην πρώτη ενότητα, διαπραγματευόμαστε μέσω της ομαδοσυνεργατική ανακαλυπτική μέθοδο με φύλλο εργασίας,.την παραλληλία των ακτινών του ηλίου (εποπτικά) και τη δημιουργία δύο ορθογωνίων τριγώνων. Στη συνέχεια, με εμπλουτισμένη εισήγηση, ο εκπαιδευτής επισημαίνει, μέσω της παραλληλίας και της νοερής μετατόπισης των σχημάτων, την έννοια της σμίκρυνσης που θα αποτελέσει τη βάση για τη σύγκρισή τους. Στο σημείο αυτό, θα ζητηθεί από τους εκπαιδευομένους, ως διαισθητική προσέγγιση της ομοιότητας, να αριθμήσουν παραδείγματα από την προσωπική τους ζωή που αποτελούν μικρογραφίες ή μεγεθύνσεις άλλων.(Παραδείγματα τέτοιων αντικειμένων συναντούμε στις φωτογραφίες, στις μακέτες, στις γιγαντοαφίσες, στις μινιατούρες κ.λ.π.).
(Χρόνος: 4 min).
Δεύτερη ενότητα: "Όμοια τρίγωνα – λόγος ομοιότητας"
Στη δεύτερη ενότητα από τα μήκη των πλευρών των δύο τριγώνων, οι εκπαιδευόμενοι θα τους ζητηθεί από τον εκπαιδευτή να υπολογίσουν τους λόγους τους και θα διαπιστώσουν ότι είναι ίσοι, με τον αριθμό 3 (Δείτε φύλλο εργασίας, παραπάνω). Στο σημείο αυτό, ο εκπαιδευτής, με εμπλουτισμένη, εισήγηση θα εισάγει την έννοια του λόγου ομοιότητας ως κλίμακα και της ομοιότητας τριγώνων ως σμίκρυνση ή μεγέθυνση. Ακόμη θα εξισώσει το αποτέλεσμα, με τον λόγο ομοιότητας (κλίμακα) και θα επισημάνει ότι το μεγάλο τρίγωνο είναι 3-πλάσιο (μεγέθυνση) του άλλου. Έπειτα, οι εκπαιδευόμενοι με την καθοδήγηση του εκπαιδευτή θα συνδέσουν τα δύο πρώτα βήματα και θα διαπιστώσουν ότι από την αναλογία των πλευρών μπορούμε να υπολογίζουμε μια άγνωστη πλευρά. Τέλος, θα τους προτείνει να εφαρμόσουν αυτή τη μέθοδο για τον υπολογισμό του ύψους στην πρώτη δραστηριότητα, ως πρακτική προσέγγιση της ομοιότητας. Χρησιμοποιούμε ομαδοσυνεργατική ανακαλυπτική μέθοδο, με φύλλο εργασίας.
(Χρόνος: 4 min)
Τρίτη ενότητα: "Διατύπωση κανόνα ομοιότητας, η σχέση του με το θ. Θαλή και η εφαρμογή του θεωρήματος"
Τέλος, στην τρίτη ενότητα οι εκπαιδευόμενοι θα οδηγηθούν από τον εκπαιδευτή να διατυπώσουν έναν κανόνα για την ομοιότητα τριγώνων και θα καταλήξουν στο θεώρημα του Θαλή. Η τεχνική διδασκαλίας θα είναι ομαδοσυνεργατική, ανακαλυπτική, με φύλλο εργασίας, σε συνδυασμό με εμπλουτισμένη εισήγηση.
Αξιολόγηση
Ακολουθεί εφαρμογή για την αξιολόγηση της διδασκαλίας. Εδώ, οι εκπαιδευόμενοι θα διαπιστώσουν ότι τα σχηματιζόμενα τρίγωνα είναι όμοια και θα εφαρμόσουν το θεώρημα του Θαλή. Από την αναλογία, θα υπολογίσουν την άγνωστη πλευρά. Συγκεκριμένα, θα σχηματίσουν την αναλογία: 18 / 12 = 24 / x
Στη συνέχεια, θα την επιλύσουν και θα βρουν ότι το x είναι 16. Ομοίως, ακολουθούμε ως τεχνική διδασκαλίας την ομαδοσυνεργατική, ανακαλυπτική, με φύλλο εργασίας.
(Χρόνος: 4 min)
Επίλογος
Κλείνουμε με ανακεφαλαίωση και σύνδεση με την επόμενη ενότητα, χρησιμοποιώντας ως τεχνική την εμπλουτισμένη εισήγηση.
(Χρόνος: 2 min).
Εφαρμογή (επίλυση με Θ. Θαλή)
Στην εφαρμογή, χρησιμοποιούμε το θ. Θαλή σε τρίγωνο (Όμοια τρίγωνα, το ένα μέσα στο άλλο). Έστω x το ύψος του καλαμακίου που είναι βυθισμένο μέσα στο ρόφημα, τότε το υπόλοιπο τμήμα θα είναι (24 - x) εκ., αφού το καλαμάκι που βρίσκεται μέσα στο ποτήρι έχει μήκος 24 εκ. Επίσης, επειδή το υγρό μέσα στο ποτήρι έχει ύψος 12 εκ. και το ποτήρι είναι 18 εκ., το υπόλοιπο θα είναι (18 - 12) εκ. = 6 εκ. Συνεπώς, από θ. Θαλή, θα έχουμε την παρακάτω αναλογία:
ΑΔ / ΔΒ = ΑΕ / ΕΓ ή (24 - x) / x = 6 / 12 ή (24 - x) / x = 1 / 2 ή x = 2 ( 24 - x) ή x = 48- 2x ή 3x = 48 ή x = 16 Με πρόσθεση του παρονομαστή στον αριθμητή, η παραπάνω αναλογία γίνεται (ιδιότητα αναλογιών): ΑΒ / ΔΒ = ΑΓ / ΕΓ ή 24 / x = 18 / 12 ή 24 / x = 3 / 2 ή 3x = 48 ή x = 16 Ομοίως, μπορούμε να προσθέσουμε τον αριθμητή στον παρονομαστή. Δηλαδή: ΑΔ / ΑΒ = ΑΕ / ΑΓ |
Φύλλο εργασίας
Εναλλακτικά, επιλέξτε τον παραπάνω τίτλο: "Φύλλο εργασίας"
Δημιουργία / Επιμέλεια: Γεωργία Κίτσου